Zadanie podane w załączniku. Dziękuje za pomoc.
-
Temat:
Matematyka -
Autor:
ernesto40 -
Utworzono:
1 rok temu
Odpowiedzi 1
Rozwiązanie:
Funkcja:
[tex]$f(x)=\frac{1}{4-x^{2}}[/tex]
W zadaniu korzystać będziemy ze znanego rozwinięcia szeregu geometrycznego:
[tex]$\sum^{\infty}_{n=0}x^{n}=\frac{1}{1-x} \ \text{dla} \ |x| < 1[/tex]
Mamy:
[tex]$f(x)=\frac{1}{4\Big(1-\frac{x^{2}}{4}\Big)} =\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{1-\frac{x^{2}}{4}}=\frac{1}{4} \sum^{\infty}_{n=0} \Big(\frac{x^{2}}{4}\Big)^{n}=\sum^{\infty}_{n=0}\frac{x^{2n}}{4^{n+1}}[/tex]
Korzystając z warunku zbieżności szeregu podanego na początku, wiemy, że szereg funkcji [tex]f[/tex] będzie zbieżny, jeśli:
[tex]$\Big|\frac{x^{2}}{4}\Big| < 1 \iff |x|^{2} < 4 \iff |x| < 2 \implies R=2[/tex]
Aby uzyskać szereg Macluarina dla drugiej pochodnej funkcji [tex]f[/tex] wystarczy, że skorzystamy z twierdzenia o różniczkowaniu szeregu potęgowego:
[tex]$f''(x)=\Bigg(\sum^{\infty}_{n=0}\frac{x^{2n}}{4^{n+1}}\Bigg)''=\sum^{\infty}_{n=0}\frac{(x^{2n})''}{4^{n+1}}=\sum^{\infty}_{n=0}\frac{2n(2n-1)x^{2n-2}}{4^{n+1}}[/tex]
Promień zbieżności jest taki sam i wynosi [tex]R=2[/tex].
-
Autor:
pixieszbh
-
Oceń odpowiedź:
5