Łukasz dodał do siebie liczby krawędzi, wierzchołków oraz ścian pewnego graniastosłupa. Którą z liczb mógł otrzymać w wyniku? ODPOWIEDZI: A) 2018, B) 2019, C) 2020, D) 2021

[tex]a)\\\\\frac{x(x-3)}{x(x+2)}=0\\\\x(x+2)\neq0\\x\neq 0\\x+2\neq0\\x\neq -2\\\\D\in R \{-2, 0\}\\\\x(x-3)=0\\x=0 \notin D\\x-3=0\\\underline{x=3}[/tex]

[tex]b)\\\\\frac{(x+\frac12)(x+4)}{(x-3)(2x+1)}=0\\\\(x-3)(2x+1)\neq0\\x-3\neq 0\\x\neq 3\\\\2x+1\neq0\\2x\neq -1 /:2\\x\neq -\frac12\\\\D\in R\{-\frac12, 3\}\\\\(x+\frac12)(x+4)=0\\x+\frac12=0\\x=-\frac12 \notin D\\\\x+4=0\\\underline{x=-4}[/tex]

[tex]c)\\\\\frac{x^2+4x}{x(x-6)}=0\\\\x(x-6)\neq 0\\x\neq 0\\x-6\neq 0\\x\neq 6\\\\D\in R \{0, 6\}\\\\x^2+4x=0\\x(x+4)=0\\x=0 \notin D\\\\x+4=0\\\underline{x=-4}[/tex]

[tex]d)\\\\\frac{(x+2)(x+3)}{x^2-9}=0\\\\x^2-9\neq 0\\(x-3)(x+3)\neq 0\\x\neq 3 \text{ v } x\neq -3\\ \\ D\in R \{-3, 3\}\\\\(x+2)(x+3)=0\\x=-3 \notin D\\\underline{x=-2}[/tex]

[tex]e)\\\\\frac{x^2-16}{2x^2+8x}=0\\\\2x^2+8x\neq0\\2x(x+4)\neq0\\\\2x\neq 0\\x\neq 0\\\\x+4\neq 0\\x\neq -4\\\\D\in R \{-4, 0\}\\\\x^2-16=0\\(x-4)(x+4)=0\\x=-4 \notin D\\\underline{x=4}[/tex]

[tex]f)\\\\\frac{x^2+2x+1}{x^2-1}=0\\\\x^2-1\neq 0\\x^2\neq 1\\x\neq 1 \text{ v } x\neq -1\\ \\D\in R \{-1, 1\}\\\\x^2+2x+1=0\\\Delta=2^2-4*1*1=4-4=0\\x_0=\frac{-2}2=-1 \notin D\\\\\underline{\text{Brak rozwiazan}}[/tex]

1.

aₙ = n

Ciąg liczbowy aₙ nazywamy ciągiem arytmetycznym wtedy i tylko wtedy, gdy różnica między dowolnym wyrazem ciągu, a wyrazem bezpośrednio go poprzedzającym jest stała dla danego ciągu i oznaczamy ją przez r.

Obliczam kilka pierwszych wyrazów tego ciągu:

a₁ = 1

a₂ = 2

a₃ = 3

a₄ = 4

Obliczam różnice ciągu r:

r = a₄ - a₃ = 4-3 = 1

r = a₃ - a₂ = 3 - 2 = 1

r = a₂ - a₁ = 2 - 1 = 1

Różnica ciągu r jest stała, więc ciąg aₙ jest ciągiem arytmetycznym.

2.

bₙ = n²

Ciąg liczbowy nazywamy ciągiem geometrycznym wtedy i tylko wtedy, gdy iloraz dowolnego wyrazu ciągu i wyrazu bezpośrednio go poprzedzajacego jest stały dla danego ciągu i oznaczamy go przez q.

Obliczam kilka pierwszych wyrazów tego ciągu:

b₁ = 1² = 1

b₂ = 2² = 4

b₃ = 3² = 9

b₄ = 4² = 16

Obliczam iloraz ciągu q:

q₁ = b₄/b₃ = 16/9

q₂ = b₃/b₂ = 9/4

q₃ = b₂/b₁ = 4/1

16/9 ≠ 9/4 ≠ 4/1

q₁ ≠ q₂ ≠ q₃

Iloraz ciągu q nie jest stały, więc ciąg  bₙ nie jest ciągiem geometrycznym.

Szczegółowe wyjaśnienie:

Zadanie 1.

Ciąg jest ciągiem arytmetycznym, jeżeli różnica (r) każdego wyrazu następnego i poprzedniego jest stała.

[tex]a_{n} = n\\a_{n+1} = n+1[/tex]      ← kolejny (następny) wyraz ciągu

badamy różnicę:

[tex]r=[/tex][tex]a_{n+1} -a_{n} = n+1 - n = 1[/tex]

[tex]r=1[/tex]  

Jest to ciąg jest arytmetyczny o różnicy r=1.

Zadanie 2.

W ciągu geometrycznym iloraz (q) wyrazu następnego przez  poprzedni jest stały.

[tex]b_{n} =n^{2}[/tex]

[tex]b_{n+1} =(n+1)^{2}[/tex]      ← kolejny ( następny) wyraz

[tex]q = \frac{a_{n+1} }{a_{n} } =\frac{(n+1)^{2} }{n^{2} } =\frac{n^{2}+2n+1 }{n^{2} }[/tex]

Nie możemy uprościć wyrażenia, nie otrzymamy stałej liczby q, więc ten ciąg nie jest geometryczny.

Nie jest to ciąg geometryczny.

Odpowiedź:

400+20(69(420*21+(69*10)))=400+20(69(8820+690))=400+20(69*9510)=400+20*656190=400+13123800=13124200

Szczegółowe wyjaśnienie:

w pierwszej kolejności wykonujemy działania w nawiasach potem mnożenie i dzielenie a na końcu dodawanie

Rozwiązanie:

Funkcja:

[tex]$f(x)=\frac{1}{4-x^{2}}[/tex]

W zadaniu korzystać będziemy ze znanego rozwinięcia szeregu geometrycznego:

[tex]$\sum^{\infty}_{n=0}x^{n}=\frac{1}{1-x} \ \text{dla} \ |x| < 1[/tex]

Mamy:

[tex]$f(x)=\frac{1}{4\Big(1-\frac{x^{2}}{4}\Big)} =\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{1-\frac{x^{2}}{4}}=\frac{1}{4} \sum^{\infty}_{n=0} \Big(\frac{x^{2}}{4}\Big)^{n}=\sum^{\infty}_{n=0}\frac{x^{2n}}{4^{n+1}}[/tex]

Korzystając z warunku zbieżności szeregu podanego na początku, wiemy, że szereg funkcji [tex]f[/tex] będzie zbieżny, jeśli:

[tex]$\Big|\frac{x^{2}}{4}\Big| < 1 \iff |x|^{2} < 4 \iff |x| < 2 \implies R=2[/tex]

Aby uzyskać szereg Macluarina dla drugiej pochodnej funkcji [tex]f[/tex] wystarczy, że skorzystamy z twierdzenia o różniczkowaniu szeregu potęgowego:

[tex]$f''(x)=\Bigg(\sum^{\infty}_{n=0}\frac{x^{2n}}{4^{n+1}}\Bigg)''=\sum^{\infty}_{n=0}\frac{(x^{2n})''}{4^{n+1}}=\sum^{\infty}_{n=0}\frac{2n(2n-1)x^{2n-2}}{4^{n+1}}[/tex]

Promień zbieżności jest taki sam i wynosi [tex]R=2[/tex].