Oblicz, ile jest wszystkich liczb naturalnych pięciocyfrowych parzystych, w których zapisie występują co najwyżej dwie dwójki.

Odpowiedzi 1

Liczba jest parzysta jeśli jej ostatnia cyfra jest parzysta.

Ponieważ 2 jest cyfrą parzystą i 0, które nie może wystąpić na początku, również jest cyfrą parzystą, to musimy rozważyć różne przypadki uwzględniające występowanie lub nie na końcu 0 lub 2 oraz wystąpienie 2 na początku.

Dwójka ma występować co najwyżej 2 razy, czyli 2 razy, jeden raz lub wcale, czyli musimy każdy przypadek rozważyć osobno.

1.

W zapisie liczby występują dokładnie 2 dwójki

Mamy tutaj cztery możliwe opcje:

  • 1°. Pierwszą i ostatnią cyfrą jest 2

Wtedy wszystkich możliwych liczb jest:

        9·9·9 = 729

bo na tyle sposobów można uzupełnić pozostałe trzy miejsca (każde dowolną cyfrą prócz 2)

  •  . pierwszą cyfrą jest 2, ale ostatnią jest dowolna parzysta różna od 2

Wtedy ostatnią cyfrę możemy zapisać na 4 sposoby, drugą dwójkę umieszczamy na jednym z pozostałych trzech miejsc i zostają nam do uzupełnienia dwa miejsca, w których możemy wpisać dowolną cyfrę z 9 (bo bez 2), czyli takich liczb jest:

  1·3·9·9·4 = 972
  • 3°. Ostatnią cyfrą jest 2, ale druga 2 nie jest pierwszą cyfrą

Wtedy pierwszą cyfrą może być jedna z ośmiu (bez 2 i 0), drugą dwójkę możemy umieścić na jednym z trzech środkowych miejsc, a pozostałe miejsca możemy uzupełnić dowolnymi z 9 cyfr (bez 2), czyli:

   8·3·9·9·1 = 1944
  • 4°. Ani na początku, ani na końcu nie ma cyfry 2

Wtedy dwójki możemy rozmieścić na trzy sposoby (22x,2x2,x22). Pierwszą cyfrą będzie jedna z ośmiu (bez 0 i 2), ostatnią jedna z czterech (0,4,6,8), a brakującą cyfrą w środku może być dowolna z wyjątkiem 2, czyli jedna z dziewięciu. Zatem takich liczb jest:

   8·3·9·4 = 864Razem:  729 + 972 + 1944 + 864 = 45092.

W zapisie liczby występuje dokładnie jedna dwójka.

Tutaj mamy trzy opcje:

  • 1°.  dwójka jest pierwszą cyfrą

Takich liczb mamy:

1·9·9·9·4 = 2916

Bo pierwsza konkretnie określona, ostatnią jest jedna z czterech pozostałych parzystych (0,4,6,8), a w środku mogą być dowolne oprócz 2.

  • 2°.   Dwójka jest ostatnią cyfrą

Wtedy mamy:

8·9·9·9·1 = 5832

Bo pierwsza dowolna oprócz 0 i 2, środkowe dowolne oprócz 2, a ostatnia konkretnie określona.

  • 3°.   Dwójka jest środkową cyfrą

Wtedy mamy:

8·3·9·9·4 = 7776

Bo pierwsza dowolna oprócz 0 i 2, dwójkę umieszczamy na jednym z trzech środkowych miejsc, pozostałe środkowe dowolne oprócz 2, a ostatnią jest jedna z parzystych oprócz 2

Razem:  2916 + 5832 + 7776 = 16 5243.

W zapisie w ogóle nie występuje cyfra 2. Wtedy:

8·9·9·9·4 = 23328

pierwsza dowolna oprócz 0 i 2, środkowe dowolne oprócz 2, a ostatnia dowolna parzysta oprócz 2

Zatem, wszystkich liczb naturalnych pięciocyfrowych parzystych, w których zapisie występują co najwyżej dwie dwójki jest:

4509 + 16 524 + 23 328 = 44 361

Znasz odpowiedź? Dodaj ją tutaj!

Can't find the answer?

Zaloguj się z Google

lub

Zapomniałeś(aś) hasła?

Nie mam jeszcze konta, ale chcę je założyć Zarejestruj się

Wybierz język i region
How much to ban the user?
1 hour 1 day 100 years