Proszę o pomoc. Z góry dziękuję

Odpowiedź:

Szczegółowe wyjaśnienie:

(załączniki)

Ogólnie, jeden z podstawowych wzorów na liczenie pochodnej funkcji, który ma do tego zadania zastosowania zastosowanie:

y = f(x) = x^{n}   to  pochodna  y' = f'(x) = df(x)/dx = dy/dx = nx^{n-1},

napisaliśmy tu specjalnie różne symbole oznaczania pochodnej, bo

takimi symbolami można zapisywać pochodną funkcji, ale w zadaniach

możemy zapisywać skrótem:  (x^n)' = nx^{n-1}, przyklady:

(x)' = (x¹)' = 1x^{1 - 1 = 0} = x° = 1     [bo każda liczba  a° = 1   czy  a¹ = a]

(x²)' = = 2x^{2 - 1 = 1} = 2x¹ = 2x;  (x³)' = 3x^{3 - 1 = 2} = 3x²;  (x⁴)' = 4x³, ...,

a)

(końcowy wynik powtórzyłem, bo bo nie wyraźnie mi się napisało).

Na samym końcu proszę dopisać:  x ≠ 0

Odpowiedź:

Szczegółowe wyjaśnienie:

Zastosujemy kryterium d'ALEMBERTA zbieżności szeregów:

Jeżeli w szeregu, (suma szeregu) ∑ o wyrazach dodatnich,

stosunek dowolnego wyrazu  U(n + 1)   do poprzedzającego wyrazu  Un

jest mniejszy od  1,   U(n + 1)/Un < 1,    to szereg jest zbieżny,

jeżeli  U(n + 1)/Un > 1,  to szereg jest rozbieżny,

jeżeli  U(n + 1)/Un = 1,  to przypadek jest wątpliwy - wtedy badamy

szereg innymi metodami,

gdzie   Un, U(n + 1)  oznacza U  ze znaczkiem  n,  (n + 1).

a)

∑ (n = 0 do ∞)  n!/100^{n}     to  

∞,     U(n+1) = (n + 1)!/100^{n + 1}       to

U(n + 1)/Un = [(n + 1)!/100^{n + 1}]/[ n!/100^{n}] =

[główną kreskę ułamkową  / = znak dzielenia  " / = : " zastąpimy znakiem mnożenia • przez odwrotność ułamka],    to    

= [(n + 1)!/100^{n + 1}]•[100^{n}/n!] =

[zastosujemymy działanie z definicji silni:                                                    n! = 1•2•3, ..., •n,   (n + 1)! = 1•2•3, ..., •n•(n + 1)  to  (n + 1)! = n!(n + 1)]    to  

=[n!(n + 1)/100^{n + 1}]•[100^{n}/n!] =

[przy mnożeniu liczb potęgowanych wykładniki potęg dodajemy"    to

100^{n + 1} = 100^{n}•100¹ = 100•100^{n}],     to

= [n!(n + 1)/100•100^{n}]•[100^{n}/n!] =

[Teraz upraszcza się, licznik ułamka z mianownikiem ułamka:                  n!   i   100^{n}]       to

= [(n + 1)/100] > 1      bo   lim (n → ∞) (n + 1)/100 = ∞ > 1  

to: Odpowiedź:

Szereg   ∑ (n = 0 do ∞)  n!/100^{n}    jest rozbieżny.

    [tex]\left(e^{3x}\right)'}=e^{3x}\cdot\left(3x\right)'=e^{3x}\cdot3=3e^{3x}[/tex]

   [tex]\left(e^{\sin x}\right)'}=e^{\sin x}\cdot\left(\sin x\right)'=e^{\sin x}\cos x[/tex]

   [tex]\left(\sqrt[5]{x^2}\right)'}=\left(x^\frac25}\right)'}=\frac25\big x^{\frac25-1}=\frac25\big x^{-\frac35}=\dfrac2{5x^\frac35}=\dfrac2{5\sqrt[5]{x^3}}[/tex]

   [tex]\left(\dfrac2{\sqrt[3]{x^2}}\right)'}=\left(2\big x^{-\frac23}}\right)'}=2\cdot(-\frac23)\big x^{-\frac23-1}=-\frac43\big x^{-\frac53}=-\dfrac4{3\sqrt[3]{x^5}}[/tex]

  [tex]\left(\dfrac{3x^2}{7x^5-x+2} \right)'=\dfrac{(3x^2)'\cdot(7x^5-x+2)-(7x^5-x+2)'\cdot3x^2}{(7x^5-x+2)^2}=\\\\\\=\dfrac{6x\cdot(7x^5-x+2)-(35x^4-1)\cdot3x^2}{(7x^5-x+2)^2}=\dfrac{3x\cdot(14x^5-2x+4-35x^5+x)}{(7x^5-x+2)^2}=\\\\\\=\dfrac{3x(-21x^5-x+4)}{(7x^5-x+2)^2}[/tex]

  [tex]\left(\big(3x+1\big)^7\right)'=7\cdot\big(3x+1\big)^6\left(3x+1\right)'=7\cdot\big(3x+1\big)^6\cdot3=21\big(3x+1\big)^6[/tex]

   [tex]\left(\big(4x^2-5x+13\big)^5\right)'=5\cdot\big(4x^2-5x+13\big)^4\left(4x^2-5x+13\right)' = \\\\=5\cdot\big(4x^2-5x+13\big)^4\cdot(8x-5)=5(8x-5)\big(4x^2-5x+13\big)^4[/tex]

Odpowiedź:

a) 426 / 5 = 85 r. 1

426 / 5 = 85,2

85,2 - 85 = 0,2

0,2 * 5 = 1

b) 1277 / 14 = 91 r. 3

1277 / 14 = 91,214

91 * 14 = 1274

1277 - 1274 = 3

c) 5326 / 43​ = 123 r. 37

5326 / 43 =123,86

123 * 43 = 5289

5326 - 5289 = 37

Odpowiedzi są w załączniku :)