Równania wymierne 3.7. Ćwiczenie 2

Ex. 4

a)

1. five minutes ago (5 minut temu)

2. last night (zeszlej nocy)

3. yesterday morning (wczorajszy poranek)

4. the day before yesterday (przedwczoraj)

5. three days ago (3 dni temu)

6. last week (w zeszlym tygodniu)

7. last month (w ubieglym miesiacu)

8. last summer (ubieglego lata)

9. a year ago (rok temu)

10. in 2009 (w 2009 roku)

c)

1.

- I cried at the end of a film last week.

- Oh really? What was it

2.

- I travelled by plane this month.

- Where have you been?

3.

- I started a new hobby last summer.

- What's your new hobby?

4.

- I walked more than 10 kilometers yesterday morning.

- Where did you go?

5.

- I booked tickets online three days ago.

- What were the tickets for?

6.

- I downloaded a song last night.

- What's the title of the song?

7.

- I played sport last week.

- What did you play?

8.

- I missed an English class last year.

- Why?

9.

- I watched a really good film two days ago.

- What was the film about?

10.

- I called a friend this morning.

- Who did you call?

11.

- I danced last spring at the party.

- Really? Who were you dancing with?

[tex]a)\\\\\frac{4}x=\frac{3}{2+x}\\\\x\neq 0\\2+x\neq 0\\x\neq -2\\\\x\in R/ \{0, -2\}\\\\4(2+x)=3x\\8+4x=3x\\4x-3x=-8\\x=-8[/tex]

[tex]b)\\\\\frac2{x+2}-\frac{1}{x-3}=0\\\\\\x+2 \neq 0\\x\neq -2\\\\x-3\neq 0\\x\neq 3\\\\D\in R \{-2, 3\}\\\\\frac{2}{x+2}-\frac{1}{x-3}=0 /+\frac{1}{x-3}\\\frac2{x+2}=\frac1{x-3}\\2(x-3)=1(x+2)\\2x-6=x+2\\2x-x=2+6\\x=8[/tex]

[tex]c)\\\\\frac{x}{x-1}=\frac{x+2}x\\\\x-1 \neq 0\\x\neq 1\\\\x\neq 0\\\\D\in R/ \{0, 1\}\\\\x^2=(x-1)(x+2)\\x^2=x^2+2x-x-2\\x^2-x^2-2x+x=-2\\-x=-2\\x=2[/tex]

[tex]d)\\\\\frac{x-3}{x-2}=\frac{x+3}{x+2}\\\\x-2\neq 0\\x\neq 2\\\\x+2\neq 0\\x\neq -2\\\\D\in R/ \{-2, 2\}\\\\(x-3)(x+2)=(x-2)(x+3)\\x^2+2x-3x-6=x^2+3x-2x-6\\x^2-x-6=x^2+x-6\\x^2-x^2-x-x=-6+6\\-2x=0 /:(-2)\\x=0[/tex]

[tex]e) \\\\\frac{x+1}x=\frac{x+1}{2x+1}\\\\x\neq 0\\2x+1\neq 0\\2x\neq -1 /:2\\x\neq -\frac12\\D\in R /\{-\frac12, 0\}\\\\x(x+1)=(x+1)(2x+1)\\x^2+x=2x^2+x+2x+1\\x^2+x=2x^2+3x+1\\x^2-2x^2+x-3x-1=0\\-x^2-2x-1=0\\-(x^2+2x+1)=0\\x^2+2x+1=0\\\Delta=2^2-4*1*1=4-4=0\\x_0=\frac{-2}{2}=-1[/tex]

[tex]f)\\\\\frac{x+1}{2x-1}-\frac{2}x=0 /+\frac2{x}\\\frac{x+1}{2x-1}=\frac2{x}\\\\2x-1\neq 0\\2x\neq 1 /:2\\x \neq \frac12\\\\x\neq 0\\\\D\in R / \{0, \frac12\}\\\\x(x+1)=2(2x-1)\\x^2+x=4x-2\\x^2+x-4x+2=0\\x^2-3x+2=0\\\Delta=(-3)^2-4*1*2=9-8=1\\x_1=\frac{3-1}2=\frac22=1\\x_2=\frac{3+1}2=\frac42=2[/tex]

Odpowiedź:

Szczegółowe wyjaśnienie:

a)

4/x = 3/(2 + x)   to,  najpierw musimy wykluczyć wartość  0 z mianownika,

to:  (x ≠ 0  i ∧  2 + x ≠ 0)  to ⇒ (x ≠ 0 ∧  x ≠ - 2) ⇒ D: x ∈ R \ {0; -2}

[Gdzie:  koniunkcja zdań (∧   zamiast " i "), jest prawdziwa gdy oba zadnia są prawdziwe,  ⇒ wynikanie, implikacja  (⇒ zamiast "to"),  D:  Dziedzina

funkcji: (czytamy):  x  należy do zbioru liczb rzeczywistych (R) (minus  \

zbiór dwuelementowy   {0; -2}   lub  za wyjątkiem zbioru

dwuelementowego   {0; -2} ]

4/x = 3/(2 + x)    /•x(2 + x)   to    4(2 + x) = 3x    to    8 + 4x = 3x    to  

4x - 3x = - 8   to   x = - 8  jest rozwiązaniem tego równania.

_________________________________  Sprawdzenie:

Do równania wyjściowego podstawiamy rozwiązanie  x = - 8   to

4/x = 3/(2 + x)   to    4/(-8) = 3/(2 - 8)    to    - 1/2 = 3/(-6)   to   - 1/2 = - 1/2

to   Lewa strona równania   L = P  Prawej,  co należało sprawdzić.

b)

2/(x + 2) -1/(x - 3) = 0   to Dziedzina:  D:   x ∈ R \ {-2; 3}

2/(x + 2) -1/(x - 3) = 0    /•(x + 2)(x - 3)   to    2(x - 3) - (x + 2) = 0     to

2x - 6 - x - 2 = 0    to    x = 2 + 6   to   x = 8  jest rozwiązaniem tego

równania.  

Sprawdzenie:   L =  2/10 - 1/5 = 1/5 - 1/5 = 0,  P = 0    to  L = P

co należało sprawdzić.

c)

x/(x - 1) = (x + 2)/x   to    Dziedzina:  D:  x ∈ R \ {1; -2}

x/(x - 1) = (x + 2)/x    /•x(x - 1)   to   x² = (x + 2)(x - 1) = x² + 2x - x - 2   to

to    x² = x² + x  - 2   to    x² - x² = x - 2   to  x - 2 = 0  

to    x = 2

Sprawdzenie:

L = 2/(2 - 1) = 2/1 = 2,   P = (2 + 2)/2 = 4/2 = 2   to    L = P

co należało sprawdzić

[tex]a)\\\\\frac{x(x-3)}{x(x+2)}=0\\\\x(x+2)\neq0\\x\neq 0\\x+2\neq0\\x\neq -2\\\\D\in R \{-2, 0\}\\\\x(x-3)=0\\x=0 \notin D\\x-3=0\\\underline{x=3}[/tex]

[tex]b)\\\\\frac{(x+\frac12)(x+4)}{(x-3)(2x+1)}=0\\\\(x-3)(2x+1)\neq0\\x-3\neq 0\\x\neq 3\\\\2x+1\neq0\\2x\neq -1 /:2\\x\neq -\frac12\\\\D\in R\{-\frac12, 3\}\\\\(x+\frac12)(x+4)=0\\x+\frac12=0\\x=-\frac12 \notin D\\\\x+4=0\\\underline{x=-4}[/tex]

[tex]c)\\\\\frac{x^2+4x}{x(x-6)}=0\\\\x(x-6)\neq 0\\x\neq 0\\x-6\neq 0\\x\neq 6\\\\D\in R \{0, 6\}\\\\x^2+4x=0\\x(x+4)=0\\x=0 \notin D\\\\x+4=0\\\underline{x=-4}[/tex]

[tex]d)\\\\\frac{(x+2)(x+3)}{x^2-9}=0\\\\x^2-9\neq 0\\(x-3)(x+3)\neq 0\\x\neq 3 \text{ v } x\neq -3\\ \\ D\in R \{-3, 3\}\\\\(x+2)(x+3)=0\\x=-3 \notin D\\\underline{x=-2}[/tex]

[tex]e)\\\\\frac{x^2-16}{2x^2+8x}=0\\\\2x^2+8x\neq0\\2x(x+4)\neq0\\\\2x\neq 0\\x\neq 0\\\\x+4\neq 0\\x\neq -4\\\\D\in R \{-4, 0\}\\\\x^2-16=0\\(x-4)(x+4)=0\\x=-4 \notin D\\\underline{x=4}[/tex]

[tex]f)\\\\\frac{x^2+2x+1}{x^2-1}=0\\\\x^2-1\neq 0\\x^2\neq 1\\x\neq 1 \text{ v } x\neq -1\\ \\D\in R \{-1, 1\}\\\\x^2+2x+1=0\\\Delta=2^2-4*1*1=4-4=0\\x_0=\frac{-2}2=-1 \notin D\\\\\underline{\text{Brak rozwiazan}}[/tex]

1.

aₙ = n

Ciąg liczbowy aₙ nazywamy ciągiem arytmetycznym wtedy i tylko wtedy, gdy różnica między dowolnym wyrazem ciągu, a wyrazem bezpośrednio go poprzedzającym jest stała dla danego ciągu i oznaczamy ją przez r.

Obliczam kilka pierwszych wyrazów tego ciągu:

a₁ = 1

a₂ = 2

a₃ = 3

a₄ = 4

Obliczam różnice ciągu r:

r = a₄ - a₃ = 4-3 = 1

r = a₃ - a₂ = 3 - 2 = 1

r = a₂ - a₁ = 2 - 1 = 1

Różnica ciągu r jest stała, więc ciąg aₙ jest ciągiem arytmetycznym.

2.

bₙ = n²

Ciąg liczbowy nazywamy ciągiem geometrycznym wtedy i tylko wtedy, gdy iloraz dowolnego wyrazu ciągu i wyrazu bezpośrednio go poprzedzajacego jest stały dla danego ciągu i oznaczamy go przez q.

Obliczam kilka pierwszych wyrazów tego ciągu:

b₁ = 1² = 1

b₂ = 2² = 4

b₃ = 3² = 9

b₄ = 4² = 16

Obliczam iloraz ciągu q:

q₁ = b₄/b₃ = 16/9

q₂ = b₃/b₂ = 9/4

q₃ = b₂/b₁ = 4/1

16/9 ≠ 9/4 ≠ 4/1

q₁ ≠ q₂ ≠ q₃

Iloraz ciągu q nie jest stały, więc ciąg  bₙ nie jest ciągiem geometrycznym.

Szczegółowe wyjaśnienie:

Zadanie 1.

Ciąg jest ciągiem arytmetycznym, jeżeli różnica (r) każdego wyrazu następnego i poprzedniego jest stała.

[tex]a_{n} = n\\a_{n+1} = n+1[/tex]      ← kolejny (następny) wyraz ciągu

badamy różnicę:

[tex]r=[/tex][tex]a_{n+1} -a_{n} = n+1 - n = 1[/tex]

[tex]r=1[/tex]  

Jest to ciąg jest arytmetyczny o różnicy r=1.

Zadanie 2.

W ciągu geometrycznym iloraz (q) wyrazu następnego przez  poprzedni jest stały.

[tex]b_{n} =n^{2}[/tex]

[tex]b_{n+1} =(n+1)^{2}[/tex]      ← kolejny ( następny) wyraz

[tex]q = \frac{a_{n+1} }{a_{n} } =\frac{(n+1)^{2} }{n^{2} } =\frac{n^{2}+2n+1 }{n^{2} }[/tex]

Nie możemy uprościć wyrażenia, nie otrzymamy stałej liczby q, więc ten ciąg nie jest geometryczny.

Nie jest to ciąg geometryczny.