Równania wymierne 3.7. Ćwiczenie 1 Rozwiąż równanie.

[tex]a)\\\\\frac{4}x=\frac{3}{2+x}\\\\x\neq 0\\2+x\neq 0\\x\neq -2\\\\x\in R/ \{0, -2\}\\\\4(2+x)=3x\\8+4x=3x\\4x-3x=-8\\x=-8[/tex]

[tex]b)\\\\\frac2{x+2}-\frac{1}{x-3}=0\\\\\\x+2 \neq 0\\x\neq -2\\\\x-3\neq 0\\x\neq 3\\\\D\in R \{-2, 3\}\\\\\frac{2}{x+2}-\frac{1}{x-3}=0 /+\frac{1}{x-3}\\\frac2{x+2}=\frac1{x-3}\\2(x-3)=1(x+2)\\2x-6=x+2\\2x-x=2+6\\x=8[/tex]

[tex]c)\\\\\frac{x}{x-1}=\frac{x+2}x\\\\x-1 \neq 0\\x\neq 1\\\\x\neq 0\\\\D\in R/ \{0, 1\}\\\\x^2=(x-1)(x+2)\\x^2=x^2+2x-x-2\\x^2-x^2-2x+x=-2\\-x=-2\\x=2[/tex]

[tex]d)\\\\\frac{x-3}{x-2}=\frac{x+3}{x+2}\\\\x-2\neq 0\\x\neq 2\\\\x+2\neq 0\\x\neq -2\\\\D\in R/ \{-2, 2\}\\\\(x-3)(x+2)=(x-2)(x+3)\\x^2+2x-3x-6=x^2+3x-2x-6\\x^2-x-6=x^2+x-6\\x^2-x^2-x-x=-6+6\\-2x=0 /:(-2)\\x=0[/tex]

[tex]e) \\\\\frac{x+1}x=\frac{x+1}{2x+1}\\\\x\neq 0\\2x+1\neq 0\\2x\neq -1 /:2\\x\neq -\frac12\\D\in R /\{-\frac12, 0\}\\\\x(x+1)=(x+1)(2x+1)\\x^2+x=2x^2+x+2x+1\\x^2+x=2x^2+3x+1\\x^2-2x^2+x-3x-1=0\\-x^2-2x-1=0\\-(x^2+2x+1)=0\\x^2+2x+1=0\\\Delta=2^2-4*1*1=4-4=0\\x_0=\frac{-2}{2}=-1[/tex]

[tex]f)\\\\\frac{x+1}{2x-1}-\frac{2}x=0 /+\frac2{x}\\\frac{x+1}{2x-1}=\frac2{x}\\\\2x-1\neq 0\\2x\neq 1 /:2\\x \neq \frac12\\\\x\neq 0\\\\D\in R / \{0, \frac12\}\\\\x(x+1)=2(2x-1)\\x^2+x=4x-2\\x^2+x-4x+2=0\\x^2-3x+2=0\\\Delta=(-3)^2-4*1*2=9-8=1\\x_1=\frac{3-1}2=\frac22=1\\x_2=\frac{3+1}2=\frac42=2[/tex]

Odpowiedź:

Szczegółowe wyjaśnienie:

a)

4/x = 3/(2 + x)   to,  najpierw musimy wykluczyć wartość  0 z mianownika,

to:  (x ≠ 0  i ∧  2 + x ≠ 0)  to ⇒ (x ≠ 0 ∧  x ≠ - 2) ⇒ D: x ∈ R \ {0; -2}

[Gdzie:  koniunkcja zdań (∧   zamiast " i "), jest prawdziwa gdy oba zadnia są prawdziwe,  ⇒ wynikanie, implikacja  (⇒ zamiast "to"),  D:  Dziedzina

funkcji: (czytamy):  x  należy do zbioru liczb rzeczywistych (R) (minus  \

zbiór dwuelementowy   {0; -2}   lub  za wyjątkiem zbioru

dwuelementowego   {0; -2} ]

4/x = 3/(2 + x)    /•x(2 + x)   to    4(2 + x) = 3x    to    8 + 4x = 3x    to  

4x - 3x = - 8   to   x = - 8  jest rozwiązaniem tego równania.

_________________________________  Sprawdzenie:

Do równania wyjściowego podstawiamy rozwiązanie  x = - 8   to

4/x = 3/(2 + x)   to    4/(-8) = 3/(2 - 8)    to    - 1/2 = 3/(-6)   to   - 1/2 = - 1/2

to   Lewa strona równania   L = P  Prawej,  co należało sprawdzić.

b)

2/(x + 2) -1/(x - 3) = 0   to Dziedzina:  D:   x ∈ R \ {-2; 3}

2/(x + 2) -1/(x - 3) = 0    /•(x + 2)(x - 3)   to    2(x - 3) - (x + 2) = 0     to

2x - 6 - x - 2 = 0    to    x = 2 + 6   to   x = 8  jest rozwiązaniem tego

równania.  

Sprawdzenie:   L =  2/10 - 1/5 = 1/5 - 1/5 = 0,  P = 0    to  L = P

co należało sprawdzić.

c)

x/(x - 1) = (x + 2)/x   to    Dziedzina:  D:  x ∈ R \ {1; -2}

x/(x - 1) = (x + 2)/x    /•x(x - 1)   to   x² = (x + 2)(x - 1) = x² + 2x - x - 2   to

to    x² = x² + x  - 2   to    x² - x² = x - 2   to  x - 2 = 0  

to    x = 2

Sprawdzenie:

L = 2/(2 - 1) = 2/1 = 2,   P = (2 + 2)/2 = 4/2 = 2   to    L = P

co należało sprawdzić

[tex]a)\\\frac{2x^2+5x-3}{4x^2-4x+1}=0\\\\4x^2-4x+1 \neq 0\\\Delta=(-4)^2-4*4*1=16-16=0\\x_0=\frac{4}{8}=\frac12\\D\in R\setminus\{\frac12\}\\\\2x^2+5x-3=0\\\Delta=5^2-4*2*(-3)=25+24=49\\\sqrt{\Delta}=7\\x_1=\frac{-5-7}4=\frac{-12}4=-3\\x_2=\frac{-5+7}4=\frac{2}4=\frac12 \notin D\\\\\underline{x=-3}[/tex]

[tex]b)\\\\\frac{9x^2+12x+4}{3x^2-x-2}=0\\\\3x^2-x-2 \neq 0\\\Delta=(-1)^2-4*3*(-2)=1+24=25\\\sqrt{\Delta}=5\\x_1=\frac{1-5}{6}=\frac{-4}6=-\frac23\\x_2=\frac{1+5}6=\frac66=1\\D\in R\setminus\{-\frac23; 1\}\\\\9x^2+12x+4=0\\\Delta=12^2-4*9*4=144-144=0\\x_0=\frac{-12}{18}=-\frac{2}{3} \notin D\\\underline{\text{Brak rozwiazan}}[/tex]

[tex]c)\\\\\frac{x^2-2x-3}{x^2-x-6}=0\\\\x^2-x-6 \neq 0\\\Delta=(-1)^2-4*1*(-6)=1+24=25\\\sqrt{\Delta}=5\\x_1=\frac{1-5}2=\frac{-4}2=-2\\x_2=\frac{1+5}2=\frac62=3\\\\D\in R\setminus\{-2, 3\}\\\\x^2-2x-3=0\\\Delta=(-2)^2-4*1*(-3)=4+12=16\\\sqrt{\Delta}=4\\x_1=\frac{2-4}2=\frac{-2}2=-1\\x_2=\frac{2+4}2=\frac62=3 \notin D\\\\\underline{x=-1}[/tex]

[tex]d)\\\\\frac{x^2-5x+4}{x^2+x-2}=0\\\\x^2+x-2 \neq 0\\\Delta=1^2-4*1*(-2)=1+8=9\\\sqrt{\Delta}=3\\x_1=\frac{-1-3}2=\frac{-4}2=-2\\x_2=\frac{-1+3}2=\frac22=1\\\\D\in R\setminus\{-2, 1\}\\\\x^2-5x+4=0\\\Delta=(-5)^2-4*1*4=25-16=9\\\sqrt{\Delta}=3\\x_1=\frac{5-3}2=\frac22=1 \notin D\\x_2=\frac{5+3}2=\frac82=4\\\\\underline{x=4}[/tex]

[tex]e)\\\\\frac{2x^2-3x+1}{x^2-3x+2}=0\\\\x^2-3x+2 \neq 0\\\Delta=(-3)^2-4*1*2=9-8=1\\\sqrt{\Delta}=1\\x_1=\frac{3-1}2=\frac22=1\\x_2=\frac{3+1}2=\frac42=2\\\\D\in R \setminus\{1, 2\}\\\\2x^2-3x+1=0\\\Delta=(-3)^2-4*2*1=9-8=1\\\sqrt{\Delta}=1\\\\x_1=\frac{3-1}4=\frac24=\frac12\\x_2=\frac{3+1}4=\frac44=1 \notin D\\\\\underline{x=\frac12}[/tex]

[tex]f)\\\\\frac{6x^2+x-1}{3x^2+5x-2}=0\\\\3x^2+5x-2 \neq 0\\\Delta=5^2-4*3*(-2)=25+24=49\\\sqrt{\Delta}=7\\x_1=\frac{-5-7}{6}=\frac{-12}6=-2\\x_2=\frac{-5+7}6=\frac26=\frac13\\\\D\in R \setminus\{-2, \frac13\}\\\\6x^2+x-1=0\\\Delta=1^2-4*6*(-1)=1+24=25\\\sqrt{\Delta}=5\\x_1=\frac{-1-5}{12}=\frac{-6}{12}=-\frac12\\x_2=\frac{-1+5}{12}=\frac4{12}=\frac13 \notin D\\\\\underline{x=-\frac12}[/tex]

1.

aₙ = n

Ciąg liczbowy aₙ nazywamy ciągiem arytmetycznym wtedy i tylko wtedy, gdy różnica między dowolnym wyrazem ciągu, a wyrazem bezpośrednio go poprzedzającym jest stała dla danego ciągu i oznaczamy ją przez r.

Obliczam kilka pierwszych wyrazów tego ciągu:

a₁ = 1

a₂ = 2

a₃ = 3

a₄ = 4

Obliczam różnice ciągu r:

r = a₄ - a₃ = 4-3 = 1

r = a₃ - a₂ = 3 - 2 = 1

r = a₂ - a₁ = 2 - 1 = 1

Różnica ciągu r jest stała, więc ciąg aₙ jest ciągiem arytmetycznym.

2.

bₙ = n²

Ciąg liczbowy nazywamy ciągiem geometrycznym wtedy i tylko wtedy, gdy iloraz dowolnego wyrazu ciągu i wyrazu bezpośrednio go poprzedzajacego jest stały dla danego ciągu i oznaczamy go przez q.

Obliczam kilka pierwszych wyrazów tego ciągu:

b₁ = 1² = 1

b₂ = 2² = 4

b₃ = 3² = 9

b₄ = 4² = 16

Obliczam iloraz ciągu q:

q₁ = b₄/b₃ = 16/9

q₂ = b₃/b₂ = 9/4

q₃ = b₂/b₁ = 4/1

16/9 ≠ 9/4 ≠ 4/1

q₁ ≠ q₂ ≠ q₃

Iloraz ciągu q nie jest stały, więc ciąg  bₙ nie jest ciągiem geometrycznym.

Szczegółowe wyjaśnienie:

Zadanie 1.

Ciąg jest ciągiem arytmetycznym, jeżeli różnica (r) każdego wyrazu następnego i poprzedniego jest stała.

[tex]a_{n} = n\\a_{n+1} = n+1[/tex]      ← kolejny (następny) wyraz ciągu

badamy różnicę:

[tex]r=[/tex][tex]a_{n+1} -a_{n} = n+1 - n = 1[/tex]

[tex]r=1[/tex]  

Jest to ciąg jest arytmetyczny o różnicy r=1.

Zadanie 2.

W ciągu geometrycznym iloraz (q) wyrazu następnego przez  poprzedni jest stały.

[tex]b_{n} =n^{2}[/tex]

[tex]b_{n+1} =(n+1)^{2}[/tex]      ← kolejny ( następny) wyraz

[tex]q = \frac{a_{n+1} }{a_{n} } =\frac{(n+1)^{2} }{n^{2} } =\frac{n^{2}+2n+1 }{n^{2} }[/tex]

Nie możemy uprościć wyrażenia, nie otrzymamy stałej liczby q, więc ten ciąg nie jest geometryczny.

Nie jest to ciąg geometryczny.

Odpowiedź:

A) 2018

Szczegółowe wyjaśnienie:

Graniastosłup o podstawie n- kąta ma:

krawędzi:  3n

wierzchołków: 2n

ścian:  n ścian bocznych  plus 2 podstawy = n+2

razem: krawędzi, wierzchołków i ścian = 3n+ 2n + n + 2 = 6n + 2

Sprawdzamy odpowiedzi.

( 6n+2 jest liczbą parzystą, wystarczy więc sprawdzić

           tylko odpowiedź A i C)

sprawdzamy A)

6n+2 = 2018

6n= 2018 - 2

6n = 2016  /:6

n = 336

Graniastosłup ma w podstawie 336 - kąt.

liczba wierzchołków:  2 · 336 = 672

liczba krawędzi: 3·336 = 1008

liczba ścian: 2 podstawy + 336 ścian bocznych = 2 + 336 = 338

razem: 672+1008 + 338 = 2018

prawidłowa odpowiedź:  A) 2018